ELS POLÍGONS REGULARS

Són aquells que tenen tots els seus costats iguals.
Una manera de construir-los és sobre la circunferècia, agafant 360º i partint aquest angle en arcs iguals ( 3, 4, 5, .. 10 parts iguals)

Dalt tenin alguns exemples que hem estudiat a 3ESO
D'altra banda, he trobat una pàgina que ens permet fer construccions geométriques ( amb les eines corresponents, làpiz, compás, regla , ...)

Francina i Judit.

Teorema de Thales

Teorema de Tales

De fet es parla de dos teoremes i es sospita que altres resultats geomètrics també foren descoberts per Tales de Milet ( 635 aC - vora 545 aC), fou un filòsof grec. Nascut a la ciutat Jònia de Milet, a la vora del Mar Egeu, fill d'Examio i de Cleobulina.
Els seus principals interessos eren les matemàtiques, l' astronomia i la política, i se'l considera el primer filòsof de la història. Fou el fundador de l'anomenada escola de Milet (junt amb Anaximandre i Anaxímenes).


- De la web de la Wikipèdia en català.

Primer Teorema.

Ens diu que rectes paral·leles determinen segments proporcionals sobre 2 rectes qualsevols del pla.


Per exemple, si OB fora 2 vegades OA també es compleix que O’B’ = 2·O’A’

• A la pàgina 170 del llibre de Matemàtiques_A de 4ESO de l'editorial Anaya tens altres variants del teorema.
• Fes també les activitats proposades en aquesta pàgina.

---

Segon Teorema.

Nota:
En geometria, el teorema de Thales '(nom de Tales de Milet), estableix que si A, B i C són punts en un cercle on la recta AC és un diàmetre del cercle, llavors l'angle ABC és un angle recte. Teorema de Thales és un cas especial del teo rema d'angle inscrit. En general s'atribueix a Tales, que es diu que han sacrificat un toro en honor del descobriment, però de vegades s'atribueix a Pitàgores.



Demo: , radi del cercle. Per tant OAC i OBC són isòsceles. La suma dels angles del triangle ABC val . Dividint per dos, s'obté o,

equivalentment, .

---

El teorema de Thales és important en Geometria ja que ens permet definir quan dues figures planes són semblants. Així, no és suficients que es "semblin" en la forma, sinó que caldrà que es mantenguin les proporcions.
Dit d'una altra manera, podrem anar d'una figura a una altre semblant multiplicant per un nombre que serà la seva raó de semblança.

Triangles semblants.
Un cas particular són els triangles. Podríem dir que dos triangles són semblants quan:

• Tenen els angles iguals.
• Tenen els costats proporcionals.

En els triangles rectangles és suficient que un dels angles sigui el mateix o be que dos costats siguin proporcionals.


Algunes aplicacions geomètriques senzilles:

a) Càlcul d’una distància que no podem mesurar.
b) Divisió d’un segment en parts iguals.

La geometria

La geometria (etimologia del grec γεωμετρία; γη = terra, μετρώ = mesurar) és la branca del coneixement que s'ocupa dels objectes o figures i de les seves relacions en l'espai, es a dir: distància, posició, superfície, volum, forma, desplaçament, projecció, representació, etc. Fou un dels dos camps de les matemàtiques clàssiques, essent l'altre camp, l'aritmètica o estudi dels nombres.

A l'Edat Moderna, el filòsof Descartes reformulà el concepte de coordenades cartesianes, el qual donà pas a la geometria analítica que va introduir els metòdes de càlcul algebraics en la geometria. Actualment, els conceptes geomètrics s'han generalitzat fins assolir un elevat grau d'abstracció i complexitat, conseqüentment podem parlar d'una geometria tradicional o clàssica, que és la que tothom coneix, ja que s'ensenya a les escoles primàries. Les altres geometries, en general, són disciplines fonamentades, en part, en els conceptes en certa forma intuïtius de la geometria clàssica, a partir dels quals es formulen altres hipòtesis, es desenvolupen mètodes alternatius o s'estableixen vinculacions amb altres disciplines o matematiques.

Francina i Judit.

Les figures geomètriques a l'espai

En aquest tema estudiarem els cossos a l’espai , és a dir, amb tres dimensions: llargària, amplària i alçada.
Per representar les figures tridimensionals, s’utilitzen perspectives, que damunt un pla aconsegueixen un efecte tridimensional.
Elements bàsics a l’espai:
PRISMA
És un políedre limitat per dos polígons iguals i de bases paral·leles i paral·lelograms en les cares laterals.
Tipus de prismes.

• Rectes: Les cares laterals són rectangles perpendiculars a les bases.
• Oblic: Les cares laterals no són perpendiculars a les bases.

PIRÀMIDE

La piràmide és un políedre que té com a base un polígon qualsevol i com a cares laterals triangles amb vèrtex comú.

L’altura de la piràmide és la distancia del vèrtex al pla que conté a la base.
La piràmide més coneguda és la regular.
La base és un polígon regular el vèrtex del qual està és perpendicular al centre del polígon regular. Las cares laterals son triangles isòsceles iguals.

CILINDRE

Són cossos de revolució que s’obtenen en girar una figura plana al voltant d’un eix.
Ti p us de cilindres:

• El cilindre més conegut i més utilitzat és el cilindre recte, que és el cos que s’obté en girar una volta completa (de 360 º) un rectangle sobre els seus costats.
• Si es talla un cilindre recte pels plans paral·lels a l’eix es pot obtenir un cilindre inclinat, la base del qual és un elipse, no un cercle.

CON

El con és el cos de revolució que s’obté al girar un triangle rectangle sobre un dels seus catets.
El tronc del con és el cos geomètric que s’obté al tallar un con per un pla paral·lel a la base.

ESFERA

Una esfera s’obté al girar un semicercle al voltant del seu diàmetre. L’esfera queda definida per el valor del seu radi.
La intersecció d’una esfera amb un pla és un cercle. El radi de l’esfera, el radi del cercle i la distància del centre de l’esfera al pla formen un triangle rectangle.

TEOREMA DE NAPOLEÓN

Si en un triangle ABC es construeixen triangles equilàters exteriors sobre els seus costats, els centres d'aquests triangles equilàters determinen un triangle equilàter (O1O2 O3) conegut com triangle de Napoleó exterior.

Anàlogament si es construeixen sobre els costats del triangle ABC triangles equilàters interiors, els seus centres també determinen un triangle equilàter (P1P2P3) conegut com triangle de Napoleó interior.
Hi ha una interessant propietat que relaciona les àrees dels tres triangles: L'àrea del triangle ABC és
igual a la diferència de les àrees dels triangles de Napoleó exterior i interior.

Napoleó era aficionat a la Geometria i algun dels resultats anteriors li ha estat atribuït. En qualsevol cas no està molt clar que els seus coneixements geomètrics fossin suficients per arribar a establir els resultats descrits.

Bosco Mesquida.

Tipus de polígons

TIPUS DE POLIGONS.

Un polígon és una figura geometrica plana formada per un nombre finit de segments lineals seqüencials. Cada un d'aquests segments és un costat, i cada un dels punts on s'uneixen dos costats és un vèrtex. Sovint, el terme polígon també s'utilitza per descriure l'àrea compresa dins de la figura, o la unió de la figura i l'àrea.

Podem classificar els polígons segons el número de costats: triangles, quadrilàters, pentàgons, hexàgons, heptàgons... i en general n-àgons.



Un polígon que té tots els costats iguals es diu equilàter, si té tots els angles iguals s'anomena equiangle, mentre que si té els costats i angles iguals es diu regular.

ELS VOLUMS

ELS VOLUMS

Què és el volum? El volum expressa l'espai en 3 dimensions que ocupa un cos. A continuació, els volums de les figures més frequënts en la vida quotidiana:

Geometria plana

-Geometria plana: És la part de la geometria clàssica que s'ocupa de les figures en el pla. Els elements físics plans, es a dir, amb una dimensió reduïda front a les altres dos, com per exemple: una paret o un paviment, una pàgina d'un llibre o el full d'un bloc, etc., constitueixen el suport de l'espai de dos dimensions on es dessenvolupa aquesta geometria.

Àrea de les figures planes:

• Rectangle:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• Paral·lelogram:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• Triangle:
  
  
  
  

• Quadrat:

• Rombe:
  

• Trapeci:
  
  
  
  
  

Poligon regular:

El Nompre PI

EL NOMBRE PI

En matemàtiques, π és la constant d'Arquimedes, una consonant que relaciona el diàmetre de la circumferència amb la longitud del seu perímetre
P = d · π


Perímetre = π × diàmetre
En geometria euclidiana, π es defineix com la proporció entre el perímetre d'una circumferència i el seu diàmentre:

FÓRMULES RELACIONADES AMB PI

• Relacionades amb la circumferència i amb el cercle.
  • Perímetre de la circumferència de radi r: P = 2 π r
  • Àrea del cercle de radi r: A = π r2
  • Àngles: 180 graus són equivalents a π radians
• Relacionades amb l'el·lipse
  • Àrea de l'el·lipse amb semieixos a i b: A = π ab
• Relacionades amb l'esfera.
  • Volum de l'esfera de radi r: V = (4/3) π r3
  • Àrea de superfície d'una esfera de radi r: A = 4 π r2
• Relacionades amb el cilindre.
  • El volum del cilindre d'altura h i radi de la base r és V = π r 2 h
  • L'àrea de la superfície del cilindre d'altura h i radi de la base r és A = 2 π r 2 + 2 π r h
• Relacionades amb el conus.
  • Volum del conusde radi de la base r i altura h. V = (1/3) πr 2 h
  • Àrea de la superfície del conus de radi de la base r i altura h. A = π r (r + √ (h 2 + r 2))
    

LES PRIMERES 1000 XIFRES DEL NOMBRE PI

3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Aina Anglada

TRIANGLES:

Què és un triangle?

Un triangle és un polígon tancat, amb tres costats i tres angles. La suma dels seus angles suma 180º

Si coneixem un costat (base) i la seva distància al vèrtex oposat (altura), llavors el càlcul de l'àrea ve donat per la següent fórmula:

Si coneixem els tres costats d' un triangle, l' àrea es pot calcular utilitzant la fórmula d' Herón:






Gemma i Jessica

Teorema de l'altura.

TEORMA DE L'ALTURA

El teorema de l'altura estableix que en un triangle rectangle (ABC), l'altura (BH) respecte la hipotenusa és mitjana proporcional o geomètrica entre els dos segments (AH i HC) en què l' altura divideix la hipotenusa.

Els dos angles aguts de qualsevol triangle rectangle són complementaris, ja que la suma dels angles de qualsevol triangle és un angle pla, mentre que els triangle rectangles, tenen el tercer angle recte.
Per exemple, ABC i BHC són triangles semblants perquè tenen dos angles iguals: β i α i el recte.

· Demostració

Els dos angles aguts de qualsevol triangle rectangle són complementaris, ja que la suma dels angles de qualsevol triangle és un angle pla, mentre que els triangle rectangles, tenen el tercer angle recte.

Atenent al triangle ABC, veiem que α i γ són complementaris. Atenent al triangle BHC, veiem que γ i β són complementaris. D'aquesta manera, podem afirmar que β i α són iguals.
ABC i BHC són triangles semblants perquè tenen dos angles iguals: β i α i el recte.

· Què es pot fer amb el teorema de l'altura?

Càlcul geomètric de la mitjana proporcional de dos segments de longitud a i b : Alineant els dos segments a (AH) i b (HC), es pot obtenir l'arc capaç de 90º del segment a+b (AC). El segment perpendicular a a+b que va des del seu punt d'unió (H) fins a intersecar amb l'arc capaç al punt B és la mitjana proporcional o geomètrica de a i b. Per demostrar-ho, només cal aplicar el teorema de l'altura al triangle rectangle ABC, d'angle recte a B.

Neus i Maria.

polígons

En dibuixar diversos segments consecutius obtindrem una línia poligonal. Un polígon és la regió interior d'una línia poligonal tancada i no creuada. Els seus elements són: els costats, els vèrtexs i les diagonals. A la línia que l'envolta es la flama contorn del polígon. Les figures es poden dividir en dos grans grups: còncaves i convexes.